$f\left(x\right) = \log \left(\sqrt{4-x^2}\right)$ হলে f এর রেঞ্জ কত?

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(f(x) = \log (\sqrt{4-x^2})\)

একটি ফাংশনের রেঞ্জ (Range) নির্ণয় করার জন্য প্রথমে তার ডোমেন (Domain) নির্ণয় করা প্রয়োজন। ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে:

    
1. বর্গমূলের ভিতরের অংশটি অবশ্যই ঋণাত্মক হতে পারবে না (অঋণাত্মক):
           \(4-x^2 \ge 0\)
           \(x^2 \le 4\)
           \(-2 \le x \le 2\)
    
2. লগারিদমের আর্গুমেন্ট (ভেতরের অংশ) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে:
           \(\sqrt{4-x^2} > 0\)
           এটি বোঝায় \(4-x^2 > 0\) (কারণ যদি \(4-x^2 = 0\) হয়, তাহলে \(\sqrt{4-x^2} = 0\) এবং \(\log(0)\) অসংজ্ঞায়িত)।
           \(x^2 < 4\)
           \(-2 < x < 2\)

উপরিউক্ত দুটি শর্ত একত্রিত করলে, ফাংশনটির ডোমেন (Domain) হলো: \(-2 < x < 2\)।

এখন ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় করা যাক। ডোমেনের মধ্যে \(x\) এর মান \(-2\) থেকে \(2\) এর মধ্যে থাকে।

    
1. প্রথমে \(x^2\) এর মান বিবেচনা করি:
           যখন \(x=0\), তখন \(x^2 = 0\)।
           যখন \(x\) এর মান \(-2\) বা \(2\) এর দিকে যায়, তখন \(x^2\) এর মান \(4\) এর কাছাকাছি হয়।
           সুতরাং, \(0 \le x^2 < 4\)।
    
2. এখন \(4-x^2\) এর মান বিবেচনা করি:
           যখন \(x^2 = 0\), তখন \(4-x^2 = 4\)।
           যখন \(x^2\) এর মান \(4\) এর কাছাকাছি হয়, তখন \(4-x^2\) এর মান \(0\) এর কাছাকাছি হয়।
           সুতরাং, \(0 < 4-x^2 \le 4\)। (লক্ষ্য করুন, \(4-x^2\) শূন্য হতে পারবে না, কারণ এটি লগের আর্গুমেন্টকে শূন্য করে দেবে)
    
3. এরপর \(\sqrt{4-x^2}\) এর মান বিবেচনা করি:
           যখন \(4-x^2\) এর মান \(0\) এর কাছাকাছি হয়, তখন \(\sqrt{4-x^2}\) এর মান \(0\) এর কাছাকাছি হয়।
           যখন \(4-x^2 = 4\), তখন \(\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4} = 2\)।
           সুতরাং, \(0 < \sqrt{4-x^2} \le 2\)।
           ধরি, \(u = \sqrt{4-x^2}\)। তাহলে আমরা পাই \(0 < u \le 2\)।
    
4. সবশেষে, \(f(x) = \log(u)\) এর মান বিবেচনা করি:
           যখন \(u \to 0^+\) (অর্থাৎ, \(u\) শূন্যের খুব কাছাকাছি ধনাত্মক সংখ্যা), তখন \(\log(u) \to -\infty\)।
           যখন \(u = 2\), তখন \(\log(u) = \log(2)\)।
           সুতরাং, ফাংশন \(f(x)\) এর রেঞ্জ হলো \( (-\infty, \log 2] \)।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো:

    
1. -4 ≤ x ≤ 4
    
2. -2 ≤ x ≤ 0
    
3. 2 ≤ r ≤ 2
    
4. -2 ≤ x ≤ 2

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।